\begin{EXERCICE}
\exercice{Premier principe}

On étudie deux transformations faisant passer un gaz parfait de
l'état initial $(1)$, caractérisé par 
$V_1 = \numprint{2.24}$~l,
$P_1 = 1~\unit{atm}$ et
$T_1 = 273~\unit{K}$, 
à l'état final $(2)$, caractérisé par
$V_2 = \numprint{4.48}~\unit{l}$ et
$P_2 = 2~\unit{atm}$.
\begin{questions}
\item Quelle est la température $T_2$ du gaz dans l'état final?
\item Calculer les quantités de travail $W$ et de chaleur $Q$
        associées aux transformations suivantes pour la transformation
        de l'état $(1)$ à $(2)$.
        \begin{enumerate}[a]
         \item \'Echauffement à volume constant de $P_1$ à $P_2$
                suivie d'une détente à pression constante jusqu'au
                volume $V_2$.
         \item Détente à pression constante de $V_1$ à $V_2$ suivie
                d'un échauffement à volume constant de $P_1$ à $P_2$.
        \end{enumerate}
\item Vérifier que l'énergie interne est une fonction d'état.
\end{questions}

\begin{donnees}[On donne]
\item $\Cv = \numprint{21.0}~\unit{J\,K^{-1}}$ et
\item $\Cp = \numprint{29.3}~\unit{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$
\end{donnees}
\end{EXERCICE}

\begin{SOLUTION}
\soluce{Premier principe}

\reponse{Température $T_2$}
L'état $(1)$ permet de trouver le nombre de mole:
\[
\begin{split}
             & P_1V_1  = n\Rgp T \\
\Rightarrow  & n = \frac{P_1V_1}{\Rgp T}
\end{split}
\]
d'où
\[
 n = \frac{\numprint{1.01325}\,10^5\cdot\numprint{2.24}\,10^{-3}}{\numprint{8.314}\cdot 273} = \numprint{0.1}~\unit{mol}
\]
De la même façon
\[
 T_2 = \frac{P_2 V_2}{n\Rgp} = \frac{\numprint{2.02650}\,10^5\cdot\numprint{4.48}\,10^{-3}}{\numprint{8.314}\cdot 0.1} = \numprint{1092}~\unit{K}
\]

\reponse{$Q$ et $W$}

\reponsea{$P_1$ à $P_2$ puis $V_1$ à $V_2$}

Cette transformation se fait en deux étapes:
\begin{enumerate}
\item échauffement isochore de $P_1$ à $P_2$:
        \begin{itemize}
        \item $\delta W_1 = - P_1 \dd V \Rightarrow W_1 = 0$
        \item $\delta Q_1 = n \Cv \dd T \Rightarrow Q_1 = n \Cv (T_a - T_1)$
        \end{itemize}
\item détente isobare de $V_1$ à $V_2$:
        \begin{itemize}
        \item $\delta W_2 = - P_2 \dd V \Rightarrow W_2 = P_2 (V_1 - V_2)$
        \item $\delta Q_2 = n \Cp \dd T \Rightarrow Q_2 = n \Cp (T_2 - T_a)$
        \end{itemize}
\end{enumerate}
$T_a$ se calcule de la même façon que $T_2$:
\[
T_a = \frac{P_2 V_1}{n \Rgp}
\]
Au total:
\[
\begin{split}
W & = W_1 + W_2 \\
  & = P_2 (V_1 - V_2) \\
  & = 2 \cdot \numprint{1.01325}\,10^{5} \cdot (\numprint{2.24} - \numprint{4.48}) \, 10^{-3} \\
  & = \numprint{-453.94}~\unit{J} \\ \\
Q & = Q_1 + Q_2 \\
  & = n \Cv (T_a - T_1) + n \Cp (T_2 - T_a) \\
  & = n \frac{P_2 V_1}{n \Rgp} (\Cv - \Cp) - n \Cv T_1 + n \Cp T_2 \\
  & = - P_2 V_1 + n (\Cp T_2 - \Cv T_1) \\
  & = - 2 \cdot \numprint{1.01325}\,10^{5} \cdot \numprint{2.24}\,10^{-3} 
      + \numprint{0.1} \cdot \left(\numprint{29.3} \cdot \numprint{1092} 
                                 - \numprint{21.0} \cdot \numprint{273}\right) \\
  & = \numprint{2172.32}~\unit{J}
\end{split}
\]

\reponsea{$V_1$ à $V_2$ puis $P_1$ à $P_2$}

Cette transformation se fait en deux étapes:
\begin{enumerate}
\item détente isobare de $V_1$ à $V_2$:
        \begin{itemize}
        \item $\delta W_1 = - P_1 \dd V  \Rightarrow W_1 = P_1 (V_1 - V_2)$
        \item $\delta Q_1 = n \Cp \dd T  \Rightarrow Q_1 = n \Cp (T_a - T_1)$
        \end{itemize}
\item échauffement isochore de $P_1$ à $P_2$:
        \begin{itemize}
        \item $\delta W_2 = - P_2 \dd V  \Rightarrow W_2 = 0$
        \item $\delta Q_2 = n \Cv \dd T  \Rightarrow Q_2 = n \Cv (T_2 - T_a)$
        \end{itemize}
\end{enumerate}
$T_a$ est donné par:
\[
T_a = \frac{P_1 V_2}{n \Rgp}
\]
Au total:
\[
\begin{split}
W & = W_1 + W_2 \\
  & = P_1 (V_1 - V_2) \\
  & = \numprint{1.01325}\,10^{5} \cdot (\numprint{2.24} - \numprint{4.48}) \, 10^{-3} \\
  & = \numprint{-226.97}~\unit{J} \\ \\
Q & = Q_1 + Q_2 \\
  & = n \Cv (T_2 - T_a) + n \Cp (T_a - T_1) \\
  & = n \frac{P_1 V_2}{n \Rgp} (\Cp - \Cv) + n \Cv T_2 - n \Cp T_1 \\
  & = P_1 V_2 + n (\Cv T_2 - \Cp T_1) \\
  & = \numprint{1.01325}\,10^{5} \cdot \numprint{4.48}\,10^{-3} 
      + \numprint{0.1} \cdot \left(\numprint{21.0} \cdot \numprint{1092} 
                                 - \numprint{29.3} \cdot \numprint{273}\right) \\
  & = \numprint{1947.25}~\unit{J}
\end{split}
\]

\reponse{$U$ comme fonction d'état}

$U = W + Q$, si on calcule pour chaque chemin:
\begin{itemize}
\item $U_1 = \numprint{-453.94} + \numprint{2172.32} = \numprint{1718.38}~\unit{J}$
\item $U_2 = \numprint{-226.97} + \numprint{1947.25} = \numprint{1720.28}~\unit{J}$
\end{itemize}
$U$ est une fonction d'état si et seulement si elle ne dépend que de l'état initial
et de l'état final. Autrement dit, si et seulement si l'incertitude associée au calcul
de $U$ est supérieure ou égale à la différence numérique, soit à \numprint{1.9}~\unit{J}.
La plus grande source d'erreur est sur le volume, $1\,10^{-2}~\unit{l}$, soit pour 
la quantité $PV$ de l'ordre de 1~\unit{J}.
L'hypothèse $U$ fonction d'état est donc acceptable.
\end{SOLUTION}
